Arytmetyczny potok

Spójrzmy na opowiadanie napisane przez ucznia klasy trzeciej:

Taki sposób pisania przyjęto nazywać potokiem narracyjnym – uczeń skupia się na treści, zapominając zupełnie o formie tego, co chce napisać. Cały tekst przyjmuje postać jednego, bardzo długiego zdania, pozbawionego znaków interpunkcyjnych i niekiedy składającego się z niezbyt pasujących do siebie – na pierwszy rzut oka – fragmentów.

Taka forma „przelewania myśli na papier” jest także często spotykana na lekcjach matematyki – i to nie tylko w klasach 1-3.

Rozwiązując jedno z zadań wykorzystanych podczas badania umiejętności trzecioklasistów, uczniowie mieli w najwygodniejszy dla siebie sposób znaleźć różnicę 106 – 99. Oto kilka z zapisanych przez nich obliczeń:

Na pierwszy rzut oka jakiś matematyczny „bełkot”. Ale czy rzeczywiście? Przyjrzyjmy się uważnie po kolei temu, jak rozumowali uczniowie szukając wyniku.

Autor pierwszego obliczenia rozbił wykonywane odejmowanie na dwie części: najpierw od 106 odjął 90, po czym od uzyskanego wyniku odjął resztę, czyli 9. Dobra i skuteczna strategia postępowania.

W drugim uczeń poszedł jeszcze dalej – odwołał się do postaci odejmowanych liczb i wykonał kolejno trzy bardzo sprytne i proste operacje: 106 – 6 = 100, 100 – 90 = 10, 10 – 3 = 7. W ten sposób szansę popełnienia błędu rachunkowego zmniejszył do zera.

Autor trzeciego obliczenia zaczął od odejmowania 100 – 99, po czym uzyskany wynik zwiększył o 6. Znów sprytnie i elegancko.

W czwartym, nieco bardziej skomplikowanym obliczeniu, uczeń po znalezieniu różnicy 100 – 90 odjął od niej różnicę 9 – 6. Odjął, a nie dodał, bo tak naprawdę zaczął operować liczbami ujemnymi i musiał to uwzględnić, żeby otrzymać dobry wynik. Przy rozbiciu początkowego odejmowania na dwie części: 100 – 90 i „resztę”, tą resztą jest 6 – 9, czyli -3. Zamiast dodać -3, uczeń odjął 3 i uniknął pułapki.

Cztery skuteczne strategie odejmowania i cztery poprawne wyniki. A także cztery sposoby zapisu tych obliczeń nieco sprzeczne z powszechnie przyjętą notacją matematyczną, ale jednoznacznie i precyzyjnie ujawniające sposób rozumowania każdego z trzecioklasistów.

W tych samych badaniach uczniowie rozwiązywali następujące zadanie tekstowe:

Ania w ciągu 15 minut czyta 10 stron książki.
Ile stron książki przeczyta w ciągu półtorej godziny?

Z zadaniem tym poradziło sobie tylko 25,5% uczniów. Wśród nich autorzy tych trzech rozwiązań:

Autor pierwszego z nich posłużył się bardzo prostym asortymentem środków – do rozwiązania zadania wystarczyła mu wiedza o tym, że godzina to cztery razy po 15 minut i umiejętność dodawania. Być może jego rozumowanie wyglądało tak: po trzech kwadransach przeczyta 30 stron, po następnym, czyli po godzinie już będzie 40, to jeszcze 20 stron i już. Czy można prościej?

Drugi uczeń zaczął od ustalenia, ile kwadransów jest w półtorej godzinie – w tym celu wykonał dzielenie 90 : 15. Skorzystał przy tym z rozkładu 90 na trzy „półgodziny”. Że działania 30 : 15 są odwrotnie zapisane? Ale przecież widać, że uczeń panuje nad arytmetyczną materią zapisywanych operacji. Zaraz później „płynnie” przeszedł do obliczenia liczby przeczytanych stron.

Ostatnie z rozwiązań jest w swym charakterze identyczne z poprzednim: najpierw liczba kwadransów, potem liczba stron, choć różni się formą zapisu. Uczeń wymyślił własną notację, czy też zaadaptował notację używaną do zapisywania pory dnia do obliczeń czasowych.

Wszyscy ci uczniowie zapisali po prostu kolejne obliczenia wykonywane w pamięci podczas rozwiązywania zadania, zachowując przy tym ich naturalny – dla obliczeń pamięciowych(!) – „liniowy” szyk. Tego typu uczniowską notacją wykonywanych obliczeń – przez analogię można ją nazwać potokiem arytmetycznym – można spotkać często i na klasówkach i w uczniowskich zeszytach. Jak ją traktować?

Zanim zaproponujemy odpowiedź na to pytanie, zastanówmy się nad innym: Jaka jest funkcja czy funkcje matematycznej notacji?

Sięgnijmy do historii matematyki. W VI wieku hinduskie dzieci uczyły się pisemnego mnożenia. W Europie jeszcze przez prawie dziesięć kolejnych wieków wszystkie obliczenia wykonywano na liczydle zwanym abakiem (abakusem). Działo się tak dlatego, że Hindusi znali i stosowali notację bardzo bliską naszej współczesnej, co umożliwiało im szybkie i wygodne zapisywanie wykonywanych operacji arytmetycznych, a Europejczycy pracowicie zapisywali liczby słowami lub za pomocą znaków rzymskim, co skazywało ich na obliczenia w pamięci oraz liczydło. Pierwszym zadaniem dobrej notacji matematycznej jest … ułatwianie życia osobie, która ją stosuje.

Robert Recorde, walijski matematyk, jest „ojcem” znaku równości – użył go jako pierwszy w swoim dziele z 1557 roku. Przy tej okazji napisał tak: używam znaku = dla zaznaczenia, że to co jest po jego lewej stronie jest identyczne z tym, co jest po prawej, ponieważ, w mej opinii, nie ma dwóch rzeczy bardziej identycznych niż dwie proste równoległe. Minęły dwa wieki, zanim znak zaczął być powszechnie stosowany przez europejskich matematyków. Drugim zadaniem notacji matematycznej jest pomaganie ludziom w komunikowaniu się, co staje się możliwe tylko wtedy, gdy i nadawca i odbiorca rozumieją wykorzystywane znaki dokładnie w ten sam sposób.

Przytoczone przykładowe uczniowskie notacje doskonale pełnią tę pierwszą funkcję i nieco zawodzą z punktu widzenia drugiej. Ale dla matematycznego rozwoju dziecka ta pierwsza jest zdecydowanie ważniejsza! Notacja powinna wspierać myślenie dziecka, powinna być użytecznym narzędziem, a nie dodatkowym utrudnieniem. Warto o tym pamiętać, warto też zachęcać dzieci do samodzielnego wymyślania wygodnych sposobów zapisywania różnych rzeczy – jest to cenne dla nich doświadczenie, nawet jeśli ich propozycje nieco odbiegają od tych przyjętych przez ludzi dorosłych.

Druga funkcja notacji matematycznej, czyli komunikowanie się, nabiera prawdziwego znaczenia dopiero w kontekście różnego rodzaju pisemnych sprawdzianów (klasówek, egzaminów zewnętrznych, …). I tylko dlatego warto stopniowo uświadamiać uczniom, że swój tok rozumowania powinni zapisywać także w sposób zrozumiały i jednoznaczny dla innych. Może więc – najpierw dla siebie, a potem dla innych?

I jeszcze jedna obserwacja na koniec. W potoku arytmetycznym znak równości jest używany w znaczeniu: podstaw wynik, czyli dokładnie tak, jak w trakcie obliczeń na zwykłym, czterodziałaniowym kalkulatorze. Z jednej strony, powszechność kalkulatorów może dodatkowo wzmacniać wśród uczniów tę formę zapisu, ale z drugiej może im pozwolić na zauważenie i zrozumienie tej praktycznej „dualności” znaku równości – dużo trudniejszego w użyciu niż się powszechnie uważa!