Wiem, co robię?

Umiejętność precyzyjnego przekazywania swoich myśli jest bardzo istotna w każdej dziedzinie naszego życia. Im bardziej skomplikowany jest temat naszej wypowiedzi, tym bardziej musimy ją dyscyplinować. Jest to istotny czynnik, który wspomaga bycie zrozumianym.

Dla rozwijania myślenia matematycznego niezbędne jest wyjaśnianie sposobu postępowania. Wspomaga proces uświadomienie sobie istnienia prawidłowości oraz ich uogólnienie  porządkuje wiedzę.  

Najbardziej kształcące są wyjaśnienia sposobu myślenia w sytuacji nowej, nieznanej do tej pory. Uczniowie polskiej szkoły, szczególnie najmłodszych klas, bardzo rzadko mają okazję do rozwiązywania zupełnie samodzielnie nowego dla siebie zagadnienia. Nauczyciel, który zorientuje się, że dziecko nie potrafi od razu poradzić sobie z zadaniem, natychmiast próbuje wytłumaczyć, pomóc wskazówkami czy wręcz podać gotowe rozwiązanie.

Przekonanie o niskim poziomie samodzielności uczniów w rozwiązywaniu nieznanego problemu jest udziałem aż 97,4% badanych nauczycieli najmłodszych klas. Zgadzają się bowiem oni z następującym stwierdzeniem:

Uczniowie w tym wieku nie są w stanie tworzyć własnych sprytnych metod wykonywania obliczeń.

W badaniach umiejętności matematycznych polskich trzecioklasistów w 2008 roku umieszczono w teście zadania, których rozwiązanie wymagało zauważenia prawidłowości, zastosowania jej oraz opisania procedury własnego rozwiązania.

Zadanie
a) Przyjrzyj się uważnie tej serii obliczeń. Zbudowano ją zgodnie z pewną regułą.  Odgadnij, jaka to reguła. Dopisz dwa kolejne działania z tej serii.

1 + 2 + 3 =   6
2 + 3 + 4 =   9
3 + 4 + 5 = 12
4 + 5 + 6 = 15
............................
............................

b) A jak będzie wyglądało 32 działanie z tej serii? Zapisz je.
............................

c) Opisz, w jaki sposób można odgadnąć, jak wygląda 32 działanie z tej serii.
............................

Okazało się, że znacznie lepiej uczniowie poradzili sobie z zastosowaniem odkrytej reguły niż z opisem, w jaki sposób to uczynili. Innymi słowy, nie potrafili uświadomić sobie posiadanej wiedzy.

Znalezienie trzydziestej drugiej równości nie było trudne dla prawie 40% polskich trzecioklasistów. Jednak tylko mniej niż połowa z nich (19,4% wszystkich uczniów) spróbowała podać jakieś wyjaśnienie. Przykładowe wyjaśnienia.

Poprawna odpowiedź mogła składać się z serii kolejnych (aż do 32 równości) działań – taki sposób, jak w przykładzie poniżej, wybrał ułamkowy odsetek badanych uczniów.
 

Zdecydowaną większość odstraszyła konieczność zapisywania kilkudziesięciu działań. Prawie wszystkie poprawne odpowiedzi miały postać gotowej równości: 32 + 33 + 34 = 99.

W zadaniu tego typu wystarczyło opisać zastosowaną przez siebie strategię. Była ona często równoznaczna z wyjaśnieniem, jaka prawidłowość została odkryta.

Nieco trudniejsze zagadnienie wiązało się z koniecznością odpowiedzi na pytanie: Dlaczego tak się dzieje? Proponowane uczniom zadanie zawierało rysunki „piramidek”, które należało uzupełnić według wzoru (dwa dodane dolne pola wskazywały, jaką liczbę należy wpisać nad nimi). Uczniowie wypełniali kolejne „piramidki” obserwując, jak powstawały  kolejne sumy i jaka liczba była uzyskiwana na górze „piramidki”.
W pewnym momencie tych badań napotykali na polecenie:


d) Jak należy wpisać liczby: 6, 9 i 33 w dolnym rzędzie
    piramidki, żeby górna liczba była jak największa?
    Wpisz je w ten sposób w dolny rząd tej piramidki:
 

   
e) Wyjaśnij, dlaczego tak właśnie należy wpisać te liczby.
   
…………………………………………………………….............................................

Tym razem konieczne było nie tylko wpisanie liczb i uzupełnienie „piramidki”, zauważenie, w jaki sposób je wpisać, ale również podanie wyjaśnienia, dlaczego tak się dzieje.

Wpisanie we właściwy sposób liczb tak, aby suma na górze była największa, zakończyło się sukcesem aż dla 48,5% uczniów. Prawie połowa trzecioklasistów postawiła właściwą hipotezę. Jednak wyjaśnienie, dlaczego właśnie tak należy wpisać liczby na dole, udało się niespełna co piątemu uczniowi (19,7%).
Poprawne i niepoprawne przykładowe wyjaśnienia uczniów.

Najczęściej (20,6% wszystkich rozwiązań) pojawiającym się wyjaśnieniem było stwierdzenie zaliczane do niepoprawnych odpowiedzi, typu: Bo wtedy będzie największa suma. Uczniowie tak odpowiadający dokonali być może prób różnych sposobów wpisania liczb 6, 9 i 33 w dole „piramidki” i zauważyli, że na jej górze suma będzie największa, gdy liczba 33 zajmie miejsce pośrodku. Nie byli jednak w stanie uświadomić sobie znaczenia takiej kolejności dla ostatecznego wyniku na górze. Tego typu rozwiązanie pokazuje przykład poniżej.

 
Pojawiały się również próby stawiania hipotezy, choć była ona bardziej związana z próbą „usankcjonowania” niepoprawnego wpisania liczb na dole, niż świadomym procesem badania zależności.

 
Opisywanie własnych strategii okazało się umiejętnością dużo trudniejszą dla polskich trzecioklasistów, niż stosowanie wiedzy. Warto, być może, dostarczać uczniom już w okresie wczesnej edukacji okazji do uświadamiania sobie, co robią i dlaczego właśnie tak.